Теоремы динамики. Закон сохранения энергии

Разберем следующую задачу. Это типовая задача для защиты домашнего задания на тему "Теоремы динамики".

Когда в задаче ставится вопрос «найти скорость в зависимости от перемещения» - это верный знак, что нужно использовать теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме.

Формулировка теоремы: изменение кинетической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех действующих на системы сил на том же перемещении, или

Поскольку изначально система покоилась, начальная кинетическая энергия равна нулю, T₀=0. Сумма работ внутренних сил также равна 0, если в задаче нет трения, пружин или демпферов.

Сначала нужно определить, сколько степеней свободы в данной системе. Для этого просто мысленно задаем движение любого звена системы и смотрим, что произойдет с остальными звеньями. Если все они придут в движение, значит, степень свободы всего одна (обычно так и бывает, реже дают задачи с двумя степенями свободы). В данной задаче мысленно повернем шестерню 1 против часовой стрелки. Очевидно, что шестерня 2 повернется также против часовой стрелки, шестерня 3 повернется по часовой стрелке, на шестерню 3 будет наматываться нерастяжимая нить, груз 4 начнет подниматься. Все движение системы описывается одной координатой, значит, количество степеней свободы n=1. Для примера, если бы нить была не была нерастяжимой, то только поворот шестерни 1 не определил бы однозначно движение груза 4, и пришлось бы вводить вторую координату, т.е. количество степеней свободы было бы равно двум.

Далее нужно задать обобщенную координату, однозначно описывающую движение системы. Поскольку в вопросе задачи нужно найти зависимость от угла поворота шестерни 1, то имеет смысл в качестве обобщенной координаты именно угол поворота шестерни 1.

Записываем уравнения связей – как перемещаются звенья механизма при изменении выбранной координаты. Мы это сделали на пальцах, когда определяли степени свободы, теперь нужно это строго записать математически.

В зацеплении 1-2 имеет место равенство

Значит, при повороте шестерни 1 на угол ϕ₁ шестерня 2 поворачивается на угол

Аналогично, шестерня 3 поворачивается на угол

Груз 4 поднимется на расстояние

Угловые скорости вращения шестерен определяются как производные углов поворота:

Скорость груза 4:

Запишем выражение для кинетической энергии системы в произвольный момент времени.

Для вращательного движения

где J – момент инерции тела вокруг оси вращения. Для диска

Для поступательного движения

Для нашей системы выражение для кинетической энергии записывается так

В результате должно получиться выражение с квадратом первой производной выбранной обобщенной координаты.

Далее нужно записать сумму работ внешних сил.

При повороте шестерни 1 против часовой стрелки работу совершают движущий момент М₁, момент сопротивления М₃ и сила тяжести m₄g

Запишем выражение для суммы работ (если сила или момент «помогают» системе двигаться, то эту работу пишем с плюсом, если «мешают» - то с минусом):

Должны получить выражение, пропорциональное выбранной обобщенной координате.

Далее приравниваем кинетическую энергию и работу. Физический смысл очень простой: если система получила какую-то энергию, значит, какой-то силой была выполнена работа.

Приравнивая два выражения, получаем

Отсюда легко выразить первую производную через координату

Вспоминая, что

Видим, что это и будет ответ на вопрос задачи.

Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, поможем.

С уважением,

Botva-Project