Теоремы динамики. Закон сохранения энергии
Разберем следующую задачу. Это типовая задача для защиты домашнего задания на тему "Теоремы динамики".
Когда в задаче ставится вопрос «найти скорость в зависимости от перемещения» - это верный знак, что нужно использовать теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме.
Формулировка теоремы: изменение кинетической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех действующих на системы сил на том же перемещении, или
Поскольку изначально система покоилась, начальная кинетическая энергия равна нулю, T0=0. Сумма работ внутренних сил также равна 0, если в задаче нет трения, пружин или демпферов.
Сначала нужно определить, сколько степеней свободы в данной системе. Для этого просто мысленно задаем движение любого звена системы и смотрим, что произойдет с остальными звеньями. Если все они придут в движение, значит, степень свободы всего одна (обычно так и бывает, реже дают задачи с двумя степенями свободы). В данной задаче мысленно повернем шестерню 1 против часовой стрелки. Очевидно, что шестерня 2 повернется также против часовой стрелки, шестерня 3 повернется по часовой стрелке, на шестерню 3 будет наматываться нерастяжимая нить, груз 4 начнет подниматься. Все движение системы описывается одной координатой, значит, количество степеней свободы n=1. Для примера, если бы нить была не была нерастяжимой, то только поворот шестерни 1 не определил бы однозначно движение груза 4, и пришлось бы вводить вторую координату, т.е. количество степеней свободы было бы равно двум.
Далее нужно задать обобщенную координату, однозначно описывающую движение системы. Поскольку в вопросе задачи нужно найти зависимость от угла поворота шестерни 1, то имеет смысл в качестве обобщенной координаты именно угол поворота шестерни 1.
Записываем уравнения связей – как перемещаются звенья механизма при изменении выбранной координаты. Мы это сделали на пальцах, когда определяли степени свободы, теперь нужно это строго записать математически.
В зацеплении 1-2 имеет место равенство
Значит, при повороте шестерни 1 на угол ϕ1 шестерня 2 поворачивается на угол
Аналогично, шестерня 3 поворачивается на угол
Груз 4 поднимется на расстояние
Угловые скорости вращения шестерен определяются как производные углов поворота:
Скорость груза 4:
Запишем выражение для кинетической энергии системы в произвольный момент времени.
Для вращательного движения
где J – момент инерции тела вокруг оси вращения. Для диска
Для поступательного движения
Для нашей системы выражение для кинетической энергии записывается так
В результате должно получиться выражение с квадратом первой производной выбранной обобщенной координаты.
Далее нужно записать сумму работ внешних сил.
При повороте шестерни 1 против часовой стрелки работу совершают движущий момент М1, момент сопротивления М3 и сила тяжести m4g
Запишем выражение для суммы работ (если сила или момент «помогают» системе двигаться, то эту работу пишем с плюсом, если «мешают» - то с минусом):
Должны получить выражение, пропорциональное выбранной обобщенной координате.
Далее приравниваем кинетическую энергию и работу. Физический смысл очень простой: если система получила какую-то энергию, значит, какой-то силой была выполнена работа.
Приравнивая два выражения, получаем
Отсюда легко выразить первую производную через координату
Вспоминая, что
Видим, что это и будет ответ на вопрос задачи.
Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, поможем.
С уважением,
Botva-Project
Контакты и реквизиты
|
Ботва Вконтакте: |
|
|
Кошелек Yandex-деньги: |
41001685155788 |
|
|
Группа Вконтакте: |
|
|
QIWI-кошелек: |
9099441606 |
|
Электронная почта: |
botva-project@yandex.ru |
|
|
Кошелек Webmoney: |
R517790048459 |