Уравнения Кирхгофа

Разберем на примере домашнего задания, как пользоваться уравнениями Кирхгофа при расчете электрических цепей.

Задается электрическая схема, в которой известны значения всех сопротивлений и ЭДС источников напряжения. То есть все R и E заданы.

Первым делом, нужно определить, сколько в схеме узлов, независимых контуров и ветвей.

Узел - это просто точка, где сходится три и больше проводов. Иногда составители заданий хитрят и отмечают жирной точкой углы схем, не ведитесь, это провокация. Узлом считается только то место, где проводов не меньше трех. В нашем случае узлов 4. Нумеруем их в произвольном порядке.

Число независимых контуров мы определяем по количеству геометрических фигур, составляющих схему. Обычно это не составляет труда, хотя встречаются и замороченные схемы, где не сразу становится очевидным количество контуров. То есть мысленно делаем заливку каждого участка схемы, и количество получившихся цветов соответствует количеству независимых контуров. Просим прощения за косноязычность, но стараемся объяснять, что называется, "на пальцах", чтобы было понятно. Вот контуры в нашей схеме.

Ветвь - это участок провода между двумя узлами. Участки 1-2, 1-4, 1-3, 2-4, 2-3, 3-4 - это ветви нашей схемы. Всего получается 6 ветвей. В каждой из них течет свой ток, который надо обозначить на схеме. Направление стрелки, указывающей ток, выбираем произвольно (разве что, мы любим в ветвях с источниками напряжения выбирать направления токов туда же, куда указывают стрелки ЭДС). А вообще, направление стрелок ни на что не влияет, в результате расчета часть токов получится со знаком "плюс" (значит, направление соответствует выбранному), а часть токов - со знаком "минус" (значит, направление тока противоположно). Вот наши токи на схеме. Заодно выберем направление обхода в каждом контуре. Направление можно выбирать произвольно, но мы рекомендуем всегда брать направление по часовой стрелке во всех контурах. Меньше будете путаться.

Подведем промежуточный итог. Мы изучили данную схему, посчитали количество узлов (четыре), количество независимых контуров (три), количество ветвей (шесть), пронумеровали узлы, контуры, выбрали направление обхода и расставили стрелки токов в ветвях (шесть токов в соответствии с количеством ветвей).

Перейдем непосредственно к уравнениям Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа гласит: сколько тока пришло в узел, столько и должно выйти. Напоминает закон сохранения чего-угодно и по сути им и является. То есть сумма токов, вошедших в узел, равна сумме токов вышедших из узла. На практике это выглядит так: смотрим на любой узел, записываем, какие токи текут в ветвях, составляющих этот узел (из определения узла понятно, что их должно быть не меньше трех), входящие токи берем с плюсом, исходящие - с минусом. В сумме должен получиться ноль. Число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше, чем количество узлов в схеме. То есть из четырех узлов выбираем любые три. Исключительно из любви к прекрасному возьмем подряд узлы 1, 2, 3.

Смотрим на узел 1. В нем сходятся ветви 1,3,5, ток I1 входит (+), ток I3 выходит (-), ток I5 выходит (-).

Получаем первое уравнение.

Узел 2. В нем сходятся ветви 1,2,4, ток I1 выходит (-), ток I2 входит (+), ток I4 выходит (-).

Второе уравнение.

Узел 3. В нем сходятся ветви 4,5,6, ток I4 входит (+), ток I5 входит (+), ток I6 выходит (-).

Третье уравнение.

Аналогично можно записать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 4, но это уже будет избыточное уравнение. Нам нужно только три, но, подчеркиваем, что выбрать можно любые три узла.

Второй закон Кирхгофа простыми словами сводится к следующему: сумма напряжений на каждом резисторе внутри контура должна быть равна ЭДС этого контура. На практике это выглядит так: берем по очереди каждый контур, в левой части уравнения пишем напряжения на резисторах. Как мы помним из закона Ома U=IR, то есть напряжение на резисторе равно произведению силы тока в ветви на сопротивление резистора. ЭДС контура - это источники напряжения Е в нашей схеме. В общем, проще показать на примере, чем объяснить.

Уравнений пишем ровно столько, сколько в цепи независимых контуров, то есть три. Начинаем по порядку.

Контур I. Направление обхода мы выбрали по часовой стрелке. Ток I1 мы направили в другую сторону, поэтому падение напряжения на резисторе R1 берется с минусом. В резисторе R2 ток тот же и тоже берется с минусом. Ток I2 течет без сопротивления, игнорируем его, ток I3 - то же самое. ЭДС в контуре одна - E1, и направление также противоположно выбранному направлению обхода, значит, в правую часть уравнения записываем E1 со знаком минус.

Для контура I уравнение Кирхгофа выглядит так:

Контур II обходим тоже по часовой стрелке. Ток I4 течет через сопротивление R4 в направлении, совпадающем с направлением обхода. Токи I2 и I6 текут без сопротивлений, так что в уравнение не входят. ЭДС в правой части уравнения: E1 с плюсом, E3 с плюсом, E4 с плюсом.

Уравнение получается таким:

И наконец контур III. Ток I5 через резистор R5 с минусом, токи I3 и I6 не участвуют. ЭДС E2 с минусом.

Получаем

Окончательно получаем систему из шести уравнений (как раз столько, сколько у нас неизвестных токов в наших ветвях).

Эта система имеет одно решение, так что, решив ее любым доступным вам методом (мы предпочитаем решать в MathCad, поскольку меньше риск арифметической ошибки и проще вносить исправления, если понадобится), вы определите все неизвестные токи в цепи.

В следующих разделах мы обсудим методы проверки расчета электрической схемы, а также рассмотрим другие способы решения, такие как метод контурных токов, метод межузловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.

Надеемся, материал был полезен.

Всегда ваша, Botva-Project