Изгиб статически определимой плоской рамы

Почему-то построение эпюры изгибающего момента для плоской рамы вызывает у студентов затруднения. На наш взгляд, это гораздо проще, чем расчет стержня, и может быть сделано в уме.

Рассмотрим такой пример. Плоская рама, одним концом в заделке, статически определена и нагружена силой F.

Построение эпюры начинается от свободного конца рамы (можно и со стороны заделки, но тогда придется сначала найти реакции в опоре). Спойлер: если у вас другая система закрепления, например, два шарнира, то после того, как вы определите реакции, строить эпюру можно с любого конца.

Правило 1: эпюра изгибающих моментов от сосредоточенной силы является линейной. То есть в нашем случае эпюра будет прямой линией на всех участках, никаких парабол.

Правило 2: эпюра изгибающих моментов направлена в ту же сторону, куда направлена сила. Официальным языком - в сторону сжатых волокон сечения рамы.

Правило 3: если в узлах рамы нет внешних изгибающих моментов, то момент в углу должен быть одинаковый с обеих сторон. То есть если в выбранном направлении обхода в угол пришел какой-то момент, то выйти из него должен такой же точно момент.

Начинаем строить эпюру от свободного конца. Для этого движемся по узловым точкам рамы и считаем, какой момент в них создает наша сила.

В узле 1 момент, очевидно, равен 0, так как плечо силы F равно 0. В узле 2 плечо силы F равно l, так что момент Mx=Fl. Получается на участке 1-2 эпюра в виде треугольника (проводим прямую линию по двум точкам), направленная в сторону сжатых волокон (туда же, куда смотрит сила F). Вот так

В точке 3 момент такой же, что и в точке 2. Fl пришло, Fl должно выйти. Направление момента должно совпадать, то есть если в точке 2 момент снаружи рамы, то в точке 3 тоже должен быть снаружи. В точке 4 плечо силы F равно l, так что момент Mx=Fl. Получается, что на участке 3-4 эпюра в виде прямоугольника, направленного наружу. Действительно, сила F направлена параллельно участку 3-4, и в любой точке участка плечо ее равно l, так что момент постоянен на всей длине участка.

В точке 5 момент такой же, что и в точке 4, и направление также наружу. В точке 6 момент равен 0, так как плечо силы F относительно это точки равно 0. Снова получаем треугольник, уходящий в ноль.

В точке 7, соответственно, тоже 0. В точке 8 - снова плечо равно 0, момента нет. Получается, участок 7-8 не нагружен изгибающим моментом.

В точке 9 тоже 0, согласно правилу 3. В точке 10 сила F действует вправо (внутрь рамы) на плече l, так что момент равен Fl и направлен внутрь.

Собственно, эпюра готова. Все эти манипуляции легко делаются в уме, и эпюра строится быстро и без лишних рисунков и формул.

Если рама нагружена несколькими силами, то сначала строим эпюры от каждой силы в отдельности, а потом просто суммируем их на каждом участке (согласно принципу суперпозии все силы действуют независимо).

Если в одном из узлов есть сосредоточенный внешний момент, то в этом месте эпюра будет совершать скачок на величину этого момента, и в направлении этого момента. Если на каком-то участке приложена распределенная нагрузка q, то на этом участке эпюра момента будет параболической (по формуле qz^2/2) - форма параболического треугольника. А на последующих участках просто распределенная нагрузка заменяется сосредоточенной силой, равной ql и приложенной к середине участка, и задача решается так, как изложено выше.

Надеемся, материал был небесполезен. 

Всегда ваша, Botva-Project