Статически неопределимые задачи растяжения-сжатия

Существует несколько типов статически неопределимых задач на растяжение-сжатие. В данной статье рассмотрим довольно распространенный тип задачи - расчет статические неопределенного стержня, нагруженного осевыми силами. Пусть стержень, состоящий из двух участков площадью поперечного сечения А и 2А, жестко закреплен с обеих концов. Нагрузим стержень осевой силой F. Схема к задаче показана на рисунке

Существует несколько путей решения, мы обычно делаем следующее. Первым делом отбрасываем левую заделку. Вместо нее вводим реакцию опоры R. Направление можно брать произвольно, но в данном случае достаточно очевидно, что левая часть стержня сжата, а правая растянута, так что легко сообразить, что положительное направление реакции R - вправо.

Заодно разбиваем стержень на участки, так же, как мы это делали при решении статически определимых задач. Напоминаем, что разбиение по участкам происходит в тех местах, где меняется профиль сечения, или где приложены сосредоточенные силы, или где заканчивается/начинается действие распределенных сил. У нас, соответственно, два участка.

Далее делаем вид, что сила R - это внешняя нагрузка, и она известна. Этот фокус позволяет нам начать решать задачу как статически определимую по методу РОЗУ. Несложно увидеть, что внутренние усилия на участках

Чтобы определить R и решить задачу, нужно записать и решить уравнение совместности деформаций. Для данной схемы закрепления стержня очевидно, что расстояние между жесткими заделками остается неизменным, значит, сумма деформаций двух участков равна 0.

Эту вещь надо запомнить, для подобного рода стержней она всегда пригодится. 

Теперь расписываем деформации каждого участка. При отсутствии распределенных нагрузок это довольно просто

Внутренние усилия N мы записали, длины, площади, модуль Юнга заданы. Внимательно следите за материалами, из которых изготовлены участки, часто в задачах они отличаются. В нашем случае

Несмотря на то, что интуитивно понятно, что первый участок сжимается, а второй расширяется, деформации пишем с плюсом, без каких-либо импровизаций. Подставляем деформации и внутренние усилия в уравнение совместности деформаций и получаем уравнение с одной переменной.

Сокращаем все, что сокращается, приводим все, что приводится, и получаем уравнение - проще не бывает

Теперь, когда мы знаем значение R, задача действительно стала статически определимой. Подставляя R в уравнения для внутренних усилий, находим силы растяжения/сжатия в каждом участке

Внутреннее усилие в участке 1 оказалось отрицательным, значит, он сжимается; усилие в участке 2 - положительное, значит, он растягивается. Все именно так, как и предполагалось.

Поделив внутренние усилия на площади участков, находим напряжения

Ну и напоследок можно посчитать перемещения в участках по стандартным формулам

По этим зависимостям (внутренние усилия N, нормальные напряжения σ, перемещения W) строятся эпюры. Проверка правильности решения - перемещение крайней точки второго участка должно быть равно нулю (там же заделка).

Это условие выполняется. Построим эпюры.

Собственно, задача решена. Бегло проверим эпюры на адекватность: на эпюрах внутренних усилий и напряжений происходит скачок в точке приложения сосредоточенной силы; напряжения на участках разные из-за разных площадей сечений; знаки внутренних усилий и напряжений совпадают; функция перемещения убывает там, где напряжение отрицательно, и возрастает там, где напряжение положительно; эпюра перемещений выходит из нуля и в нуле заканчивается, так как перемещения в заделках равны нулю.

Для окончательной уверенности в правильности решения проведем проверку энергетическим способом. Потенциальная энергия деформированных участков должна быть равна работе внешних сил.

Потенциальная энергия каждого участка считается по формуле

Соответственно, в нашем случае

Работа внешней силы равна половине произведения внешней силы на перемещение точки ее приложения

Работа получается положительной, так как сила А направлено влево, и перемещение точки ее приложение тоже направлено влево (W<0).

Собственно, это все решение. Если сделаете так же на защите, то ни один преподаватель не докопается.

Всегда ваша, Botva-Project