Теоретическая механика. Малые колебания
Дифференциальное уравнение малых вынужденных колебаний с вязким сопротивлением в общем виде выглядит так
Приводим его к каноническому виду.
где
- коэффициент затухания
- частота собственных колебаний
- амплитуда вынуждающего воздействия.
Решение данного дифференциального уравнения выглядит как сумма общего и частного решений.
Частное решение всегда выглядит одинаково. В общем виде:
Здесь
- амплитуда вынужденных колебаний
- сдвиг фаз – отставание по фазе установившихся вынужденных колебаний от вынуждающей причины.
В зависимости от условий задачи возможны частные случаи.
При отсутствии вязкого сопротивления (n=0)
Если при этом собственная частота колебаний совпадает с частотой возбуждающей причины (k=p), возникает явление резонанса и амплитуда D стремится к бесконечности.
При наличии сопротивления, но равенстве n=k, резонанс невозможен.
Если по условию задачи возбуждение отсутствует (рассматриваются свободные колебания), т.е. h=0, p=0, то частное решение ДУ нулевое.
Теперь займемся общим решением.
Общее решение дифференциального уравнения зависит от соотношения k и n.
При k>n имеем случай малого сопротивления.
Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:
Здесь
Постоянные интегрирования определяем из начальных условий
Тогда окончательное решение дифференциального уравнения
При k=n имеем случай критического сопротивления.
Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:
Постоянные интегрирования определяем из начальных условий
Тогда окончательное решение дифференциального уравнения
При k<n имеем случай большого сопротивления.
Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:
Здесь
Постоянные интегрирования определяем из начальных условий
Тогда окончательное решение дифференциального уравнения
Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или любой другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, мы всегда готовы помочь.
С уважением, Botva-Project
Контакты и реквизиты
|
Ботва Вконтакте: |
|
|
Кошелек Yandex-деньги: |
41001685155788 |
|
|
Группа Вконтакте: |
|
|
QIWI-кошелек: |
9099441606 |
|
Электронная почта: |
botva-project@yandex.ru |
|
|
Кошелек Webmoney: |
R517790048459 |