Теоретическая механика. Малые колебания

Дифференциальное уравнение малых вынужденных колебаний с вязким сопротивлением в общем виде выглядит так

Приводим его к каноническому виду.

где

- коэффициент затухания

- частота собственных колебаний

- амплитуда вынуждающего воздействия.

Решение данного дифференциального уравнения выглядит как сумма общего и частного решений.

Частное решение всегда выглядит одинаково. В общем виде:

Здесь

- амплитуда вынужденных колебаний

- сдвиг фаз – отставание по фазе установившихся вынужденных колебаний от вынуждающей причины.

В зависимости от условий задачи возможны частные случаи.

При отсутствии вязкого сопротивления (n=0)

Если при этом собственная частота колебаний совпадает с частотой возбуждающей причины (k=p), возникает явление резонанса и амплитуда D стремится к бесконечности.

При наличии сопротивления, но равенстве n=k, резонанс невозможен.

Если по условию задачи возбуждение  отсутствует (рассматриваются свободные колебания), т.е. h=0, p=0, то частное решение ДУ нулевое.

Теперь займемся общим решением.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от соотношения k и n.

При k>n имеем случай малого сопротивления.

Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:

Здесь

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий

Тогда окончательное решение дифференциального уравнения

При k=n имеем случай критического сопротивления.

Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий

Тогда окончательное решение дифференциального уравнения

При k<n имеем случай большого сопротивления.

Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:

Здесь

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий

Тогда окончательное решение дифференциального уравнения

Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или любой другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, мы всегда готовы помочь.

С уважением, Botva-Project