КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ.

Часто в задачах по теоретической механике закон движения точки задается так называемым естественным способом:  уравнением S=f(t) по заданной траектории. В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки по заданной траектории, являются: S – расстояние от заданного начального положения и t – время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени: 

V = dS/dt или V = f'(t).

Ускорения a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость – вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенциальным) ускорением a_t – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории. Таким образом, вектора тангенциального ускорения a_t и скорости V всегда коллинеарны (сонаправлены или направлены в противоположные стороны).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
a_t = dV/dt или a_t = f''(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным ускорением) a_n – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны.

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
a_n = V²/R,
где V – модуль скорости точки в данный момент;
R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a (полное ускорение точки).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора.

Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:

sin α = a_n/a; cos α = a_t/a; tg α = a_n/a.

Но можно сначала определить направление полного ускорения a, использовав формулу

tg α = a_n/a_t,
а затем найти числовое значение a:
a = a_n/sin α или a = a_t/cos α.

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения (a_t≠0) или его отсутствие (a_t=0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения (a_n≠0) или его отсутствие (a_n=0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:

а) равномерное прямолинейное (a_t = 0 и a_n = 0);
б) равномерное криволинейное (a_t = 0 и a_n ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (a_t ≠ 0 и a_n = 0);
г) неравномерное криволинейное (a_t ≠ 0 и a_n ≠ 0).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением s = f(t), а вид траектории задается непосредственно. Напоминаем, что речь идет о естественном способе задания движения точки.

Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, мы всегда готовы помочь. 

С уважением, Botva-Project