Сопромат. Статически неопределимые задачи растяжения-сжатия 2.0
Сегодня мы разберем второй тип статически неопределимых задач на растяжение-сжатие. Это система "стержень в трубке". В отличие от стержня, зажатого между двумя заделками, здесь заделка только одна, но уравнений равновесия все равно недостаточно для решения задачи. Ситуация усугубляется тем, что часто трубка и стержень выполнены из разного материала. Давайте разбираться.
Вот типовая задача на эту тему. Стальной стержень находится в медной трубке. Для простоты сделаем и стержень, и трубку неизменными по площади сечения, но, чтобы не было совсем скучно, нагрузим двумя силами, одна сила сверху, другая - посередине. Вот исходная схема к задаче.
Площадь поперечного сечения трубки 2А, площадь стержня А. Длина трубки 2l, стержень, соответственно, тоже 2l, силы F приложены сверху и к середине стержня. Начинаем решать.
Первым делом (и это уже должно войти в привычку при начале решения задач сопротивления материалов) отбрасываем связи и вводим реакции опоры. В нашем случае реакций будет две - одна в стержне, другая в трубке. Направление можно выбрать произвольно, но мы уже опытные ребята, так что замечаем, что и стержень, и трубка находятся в состоянии сжатия, так что реакции будут смотреть вверх. Рисуем.
Второе привычное для нас действие - записать уравнение равновесия. В данной задаче - это сумма проекций всех сил на вертикальную ось.
Как видим, в одном уравнении две неизвестных. Чтобы определить реакции в опоре, а следовательно, и внутренние сжимающие усилия в участках, нужно записать уравнение совместности деформаций. Для системы "стержень в трубке" уравнение совместности деформаций выглядит следующим образом: деформация стержня равна деформации трубки. Сечениями, в которых изменяется площадь сечения, или где приложена сосредоточенная сила, или на границах распределенной нагрузки, стержень или трубка разбивается на участки. В нашем случае трубка состоит из одного участка, стержень из двух. Их нужно пронумеровать и нанести на расчетную схему.
Далее вспоминаем метод РОЗУ и записываем внутренние усилия в трубке и стержне так, как будто реакции R1 и R2 нам известны. Это несложно.
Уравнение совместности деформаций в формульной записи:
Деформацию каждого участка мы записывать уже умеем
Аккуратно, не забывая следить за площадями, длинами и материалами,
Модули Юнга Eм и Eст обычно заданы соотношение Eст=2Eм. Подставляем деформации в уравнение совместности
Сокращаем, приводим подобные слагаемые и получаем второе уравнение с двумя неизвестными
Итак, получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которую несложно решить.
Решаем
Собственно, сложная часть задачи готова. Статическая неопределимость раскрыта. Реакции в опорах найдены. Теперь легко посчитать внутренние усилия на участках (формулы мы уже выписали)
Как видим, внутренние усилия получились отрицательными, значит, интуиция нас не подвела, и стержни действительно сжимаются. Поделив внутренние усилия на площади участков, определяем напряжения.
Если в формулировке задачи стоит расчет коэффициента запаса по текучести или определение силы, при которой система потечет, то будьте внимательны - для участков из разных материалов пределы текучести отличаются, так что не факт, что участок с наибольшим напряжением потечет первым.
Перемещения также можно посчитать по известным нам формулам
Надо отметить, что нумерация участков выбрана не очень удачно: перемещение стержня имеет смысл считать от заделки, так что получается, что сначала пишем перемещение второго участка, а уже потом первого. Не очень красиво, но не критично.
Также важный момент: конечное перемещение верхнего сечения трубки должно быть равно конечному перемещению верхнего сечения стержня (собственно, это и было наше условие совместности деформаций). У нас это условие выполнилось. Если при решении задачи перемещения не сходятся, значит, ищите ошибку в расчетах.
Ну и не составляет труда по сделанным расчетам построить эпюры. Для стержня и трубки нужно строить отдельно, так что получится 6 эпюр. Ну и расположение их будет непривычным - вертикальным.
Задача решена.
Всегда ваша, Botva-Project
Контакты и реквизиты
|
Ботва Вконтакте: |
|
|
Кошелек Yandex-деньги: |
41001685155788 |
|
|
Группа Вконтакте: |
|
|
QIWI-кошелек: |
9099441606 |
|
Электронная почта: |
botva-project@yandex.ru |
|
|
Кошелек Webmoney: |
R517790048459 |