Сопромат. Статически неопределимые задачи растяжения-сжатия 2.0

Сегодня мы разберем второй тип статически неопределимых задач на растяжение-сжатие. Это система "стержень в трубке". В отличие от стержня, зажатого между двумя заделками, здесь заделка только одна, но уравнений равновесия все равно недостаточно для решения задачи. Ситуация усугубляется тем, что часто трубка и стержень выполнены из разного материала. Давайте разбираться.

Вот типовая задача на эту тему. Стальной стержень находится в медной трубке. Для простоты сделаем и стержень, и трубку неизменными по площади сечения, но, чтобы не было совсем скучно, нагрузим двумя силами, одна сила сверху, другая - посередине. Вот исходная схема к задаче.

Площадь поперечного сечения трубки 2А, площадь стержня А. Длина трубки 2l, стержень, соответственно, тоже 2l, силы F приложены сверху и к середине стержня. Начинаем решать.

Первым делом (и это уже должно войти в привычку при начале решения задач сопротивления материалов) отбрасываем связи и вводим реакции опоры. В нашем случае реакций будет две - одна в стержне, другая в трубке. Направление можно выбрать произвольно, но мы уже опытные ребята, так что замечаем, что и стержень, и трубка находятся в состоянии сжатия, так что реакции будут смотреть вверх. Рисуем.

Второе привычное для нас действие - записать уравнение равновесия. В данной задаче - это сумма проекций всех сил на вертикальную ось.

Как видим, в одном уравнении две неизвестных. Чтобы определить реакции в опоре, а следовательно, и внутренние сжимающие усилия в участках, нужно записать уравнение совместности деформаций. Для системы "стержень в трубке" уравнение совместности деформаций выглядит следующим образом: деформация стержня равна деформации трубки. Сечениями, в которых изменяется площадь сечения, или где приложена сосредоточенная сила, или на границах распределенной нагрузки, стержень или трубка разбивается на участки. В нашем случае трубка состоит из одного участка, стержень из двух. Их нужно пронумеровать и нанести на расчетную схему.

Далее вспоминаем метод РОЗУ и записываем внутренние усилия в трубке и стержне так, как будто реакции R1 и R2 нам известны. Это несложно.

Уравнение совместности деформаций в формульной записи:

Деформацию каждого участка мы записывать уже умеем

Аккуратно, не забывая следить за площадями, длинами и материалами,

Модули Юнга Eм и Eст обычно заданы соотношение Eст=2Eм. Подставляем деформации в уравнение совместности

Сокращаем, приводим подобные слагаемые и получаем второе уравнение с двумя неизвестными

Итак, получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которую несложно решить.

Решаем

Собственно, сложная часть задачи готова. Статическая неопределимость раскрыта. Реакции в опорах найдены. Теперь легко посчитать внутренние усилия на участках (формулы мы уже выписали)

Как видим, внутренние усилия получились отрицательными, значит, интуиция нас не подвела, и стержни действительно сжимаются. Поделив внутренние усилия на площади участков, определяем напряжения.

Если в формулировке задачи стоит расчет коэффициента запаса по текучести или определение силы, при которой система потечет, то будьте внимательны - для участков из разных материалов пределы текучести отличаются, так что не факт, что участок с наибольшим напряжением потечет первым.

Перемещения также можно посчитать по известным нам формулам

Надо отметить, что нумерация участков выбрана не очень удачно: перемещение стержня имеет смысл считать от заделки, так что получается, что сначала пишем перемещение второго участка, а уже потом первого. Не очень красиво, но не критично.

Также важный момент: конечное перемещение верхнего сечения трубки должно быть равно конечному перемещению верхнего сечения стержня (собственно, это и было наше условие совместности деформаций). У нас это условие выполнилось. Если при решении задачи перемещения не сходятся, значит, ищите ошибку в расчетах.

Ну и не составляет труда по сделанным расчетам построить эпюры. Для стержня и трубки нужно строить отдельно, так что получится 6 эпюр. Ну и расположение их будет непривычным - вертикальным.

Задача решена.

Всегда ваша, Botva-Project