Изгиб стержня. Эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

Представляем вашему вниманию алгоритм, как быстро и правильно построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов в задаче на изгиб.

Дана такая вот балка.

Отбрасываем шарниры, заменяем их вертикальными реакциями. Обе реакции направляем вверх (в положительном направлении).

Определим реакции в опорах, записывая уравнения равновесия.

Сумма моментов всех сил вокруг любой точки должна быть равна нулю (выбираем точку приложения одной из сил, чтобы сразу определить вторую реакцию).

Сумма всех сил тоже должна быть равна нулю.

Если реакции получились со знаком «плюс», значит, направления выбраны верно. Если одна или обе реакции со знаком «минус», значит, направление вниз.

Стержень разбивается на участки точками приложения сосредоточенных сил, границами распределенной нагрузки, точками приложения изгибающих моментов, точками, где происходит изменение сечения балки. В нашем случае выделено три участка.

Применяем метод РОЗУ.

Идем по стержню слева направо, разрезая участки по середине, отбрасывая правую часть и записывая сумму сил, оставшихся слева от точки разреза.

Вот для первого участка (красная стрелка – это перерезывающая сила)

Если нагрузка направлена вниз, они записывается со знаком «минус», если вверх – со знаком «плюс».

Второй участок

Третий участок

По этим зависимостям строится эпюра перерезывающих сил.

Чтобы построить эпюру изгибающих моментов, можно также рассматривать равновесия участков и записывать сумму моментов, но есть лайфхак, позволяющий построить эту эпюру вообще не глядя на схему. Изгибающий момент на участке равен интегралу от перерезывающей силы.

Для первого участка

Чтобы узнать константу интегрирования, просто считаем момент в крайней правой точке предыдущего участка. Для первого участка предыдущего не существует, но мы знаем, что на краю стержня момент равен 0 (если там не приложен изгибающий момент), значит, при z=0 M_x1=0, значит, C₁=0

Для второго участка

Для третьего участка

По этим выражения строим эпюры.

Еще один лайфхак. Есть пара приемов, позволяющих быстро проверить, верно ли построена эпюра. Преподаватели пользуются ими, чтобы быстро проверить правильность решения, не вникая в детали.

1)   На участках с распределенной нагрузкой эпюра перерезывающих сил идет наклонно вниз, если нагрузка вниз, вверх – если нагрузка вверх

2)   На участках с одинаковой распределенной нагрузкой наклон эпюры сил должен быть одинаковым

3)   Если к стержню приложена сосредоточенная сила, в этой точке эпюра перерезывающих сил совершает скачок на величину этой силы (вверх, если сила направлена вверх; вниз, если сила направлена вниз)

4)   На краях стержня эпюра равна сосредоточенной силе, приложенной на краях. В нашем случае ноль слева, ql/3 справа

5)   Эпюра моментов совершает скачок в точках приложения сосредоточенных изгибающих моментов

7)   На участках с распределенной нагрузкой эпюра моментов в форме параболы

8)   Если эпюра перерезывающих сил равна 0 в какой-то точке на участке с распределенной нагрузкой, то эпюра моментов в этой точке имеет экстремум

9)   В точках приложения сосредоточенных сил эпюра моментов имеет излом, в других случаях эпюра гладкая.

10) Если эпюра перерезывающих сил отрицательная, эпюра моментов имеет наклон вниз, если положительная – наклон вверх.

Если один из пунктов нарушен, значит, где-то ошибка. Решив десяток задач, вы освоите этот алгоритм и будете строить эпюры для любой балки в уме, совсем как наши специалисты =)

Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или любой другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, мы всегда готовы помочь.

С уважением, Botva-Project