Динамические реакции подшипников

Тема "Динамические реакции подшипников" довольно специфична. В рамках домашних заданий и рубежных контролей студентам предлагаются весьма разнообразные задачи, так что выполнить дз и считать, что ты теперь свободно владеешь темой, пожалуй, нельзя. Для начала разберем довольно-таки типовую задачу, которая часто встречается в той или иной формулировке на защитах. Также эту задачу вы встретите почти в каждом варианте типового расчета. Итак, дана следующая система. Стержень с заданной массой и длиной шарнирно закреплен на на валу, вращающемся с известной угловой скоростью (угловая скорость в таких задачах всегда является константой). На конце стержня находится груз с также известной массой. Этот же конец стержня пружиной с известной жесткостью прикреплен к валу. Задача ставится таким образом: на какой угол отклонится стержень? (спойлер: иногда встречается обратная задача, при известном угле отклонения определить жесткость пружины. Решается примерно так же).

Вот рисунок, иллюстрирующий данную ситуацию.

Длина стержня OD равна l; С, размуеется, центр тяжести стержня, OC=CD.

Первым делом (и это относится ко всем задачам на динамические реакции подшипников), мы переходим в неинерциальную систему отсчета, связанную, с вращающимся валом. Вспоминая принцип Даламбера, приходим к выводу, что для компенсации вращения вала нам нужно ввести силы инерции. Силы инерции действуют на все тела и точки, имеющие массу, направлены в сторону противоположную ускорению.

Начнем с груза в точке D. Это материальная точка, которая движется по окружности с постоянной угловой скоростью. Вспоминая прошлый семестр, приходим к выводу, что на нее действует центростремительное (оно же нормальное) ускорение, направленное к оси вращения и равное

Здесь R - это расстояние от точки до оси вращения. Несложный геометрический расчет даст нам следующее

Теперь легко можно определить силу инерции, действующую на точку D.

Направление силы инерции противоположно направлению ускорения. Если ускорение было направлено к оси вращения, то сила инерции, соответственно, от оси вращения. Если вы хотя раз катались на карусели, то вы должны помнить, как эта самая сила инерции пытается вас сбросить.

Перейдем к стержню. Он не так прост, как материальная точка, поскольку его масса распределена равномерно по всей длине. Если мысленно разрезать его на множество маленьких кусочков равной массы, то будет понятно, что ускорение кусочка в точке О равно 0 (R=0, точка лежит на оси вращения), а ускорение кусочка в точке D посчитано ранее. Получается, что ускорение кусочков стержня линейно распределяется по длине и выглядит как-то так.

Логично, что сила инерции для стержня также распределена по линейному закону. Не будем грузить теорией и писать длинные выводы, просто примем как данность: распределенную силу инерции для стержня можно заменить сосредоточенной, приложенной на расстоянии 2/3 длины стержня от оси вращения (пытливый читатель заметит, вероятно, что сосредоточенная сила проходит через центр тяжести треугольника, задающего распределенную нагрузку, возможно, вспомнит теорему Вариньона и без проблем ответит на экзамене на дополнительный вопрос, который, несомненно, возникнет у преподавателя). Как определить модуль этой сосредоточенной силы инерции? Проще простого - берем ускорение центра тяжести стержня.

Еще раз, не запутайтесь. Силу инерции для стержня считаем как для груза такой же массы, находящегося в центре тяжести стержня. НО! Точка приложения этой силы делит стержень в отношении 2 к 1 (2/3 длины от шарнира). Это надо твердо уяснить и запомнить. Наносим посчитанные силы инерции на нашу схему. Пружину разрезаем и вводим силу упругости, направленную в сторону вала, так как пружина растянута. Сила упругости, как мы знаем из курса физики

Итак, получаем такую расчтетную схему. Угловую скорость уже не рисуем, так как мы в неинерциальной системе отсчета (вращаемся вместек с валом, так что он для нас стал неподвижен). Соответственно, задача сводится к статическому определению условий равновесия (статика, четвертое дз прошлого семестра).

Ищем угол отклонения стержня от вертикали. Для этого разрезаем систему в шарнире О и рассматриваем равновесие отсеченной части. В шарнире, естественно, надо учесть реакции связи - это три реакции опоры, направленные вдоль координатных осей.

Для справки, в данном контексте реакции в шарнире О являются полными реакциями (то есть динамические +статические). Пока они нас не интересуют.

Для определения угла отклонения нам нужно записать и решить всего одно уравнение - сумма моментов всех сил вокруг оси Ox равна 0. Сделаем это. Реакции в шарнире О, очевидно, момент не создают, нужно учесть силы инерции, тяжести и упругости. Поехали

Подставляем посчитанные ранее силы и длины.

Упрощаем, приводим подобные

Кахалось, бы одно уравнение с одной неизвестной, но наличие косинусов и синусов делает его довольно трудным. В теме "Динамические реакции подшипников" обычно принимают, что угол отклонения достаточно мал, чтобы можно было воспользоваться следующим допущением

Получаем

Откуда легко выражаем искомый угол

Его легко проверить на адекватность, просто прикинув физический смысл каждого слагаемого. Жесткость пружины в знаменателе, значит, чем жестче пружина, тем угол меньше, это логично. Квадрат угловой скорости в числителе со знаком плюс, значит, чем быстрее вращение, тем больше угол отклонения (тоже логично, вспомните карусель). Силы тяжести с числителе со знаком минус, значит чем больше массы, тем меньше угол, тоже звучит разумно.

Принимаем ответ как верный.

В следующих статьях рассмотрим иную постановку задачи.

Всегда ваша, Botva-Project