Метод контурных токов

Сегодня мы разберем еще один важный (и по секрету, наш любимый) метод определения токов в цепи постоянного тока. Это метод контурных токов. На наш взгляд он проще, чем уравнения Кирхгофа, хотя бы потому, что уравнений в системе, которую придется решать, ровно в два раза меньше. Итак, рассмотрим ту же электрическую цепь постоянного тока, которую мы рассчитывали по методу Кирхгофа. Напомним, как выглядит схема

В данной схеме нас интересует количество независимых контуров, выбираем их так же, как мы делали это в прошлый раз. Здесь три независимых контура.

В каждой ветви цепи наносим стрелками направления неизвестных токов, так же, как мы делали ранее (если вы уже рассчитали цепь любым другим способом, то направления и нумерацию токов имеет смысл сохранить, чтобы была возможность сравнить результаты расчета двумя методами). В методе Кирхгофа мы это делали так, повторим.

И последний штрих - в каждом контуре выбираем направление обхода и рисуем контурный ток. Мы любим брать те же направления, что и в методе Кирхгофа, как минимум для того, чтобы не рисовать два раза одно и тоже. Контурные токи обозначают большой буквой I, с нижним индексом 11, 22, 33.

Подготовительная часть работы завершена, переходим непосредственно к определению токов. Записывается три уравнения (по числу контурных токов). По сути каждое уравнение представляет собой что-то, похожее на второй закон Кирхгофа, только для контурного тока.

В общем виде система уравнений для трех контуров имеет вид

Контурные токи, само собой, неизвестны, их надо определить. Сопротивления R11, R22, R33 - это полные сопротивления каждого контура, взятые со знаком "плюс". То есть обходим по кругу каждый контур и суммируем все сопротивления, которые в него входят.

Для контура 1 - это резисторы 1 и 2, для контура 2 - резистор 4, для контура 3 - резистор 5.

Сопротивления типа Rij - это сопротивления ветвей, общих для i и j контуров. То есть, если мы хотим определить R12, мы находим ветвь, общую для контуров 1 и 2, и записываем ее сопротивление. Знак при этом определяется направлением контурных токов: если токи в двух контурах направлены одинаково, то сопротивление ветви берется в "плюсом"; если токи направлены в разные стороны, то берется с "минусом". На примере сопротивления R12: общая для контуров 1 и 2 ветвь - это ветвь между узлами 2 и 4 (ветвь №2 согласно нумерации токов). Резисторов на ней нет, так что сопротивление R12=0. Знак, конечно, в таком случае значения не имеет, но токи I11 и I22 в данной ветви направлены противоположно, так что если бы сопротивление было, то мы бы записали его в систему со знаком "минус". Сопротивления с индексами ij и ji, разумеется, равны.

Для всех ветвей системы получается более чем просто:

В правых частях уравнения идут суммы ЭДС источников напряжения. Принцип тот же, что и во втором законе Кирхгофа: суммируем ЭДС, учитывая знаки. Если направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока, то берем его с плюсом, если не совпадает - то с минусом.

На примере контура 1: в контуре 1 только один источник напряжения E1, направление которого противоположно направлению контурного тока. Значит,

Для всех контуров получаем

Теперь мы готовы записать и решить полную систему уравнений для трех контурных токов. Получается так:

Упрощая и сокращая то, что упрощается и сокращается, получим несложную систему уравнений с тремя неизвестными, из которой однозначно определяются контурные токи.

Определив контурные токи, мы должны еще определить токи в ветвях. Это делается совсем несложно. Идем по порядку по ветвям нашей цепи и смотрим, как из контурных токов суммируются токи в ветвях. В образовании тока ветви 1 принимает участие только один контурный ток I11, причем он направлен в другую сторону. Значит

В ветви 2 ток I2 складывается из контурных токов I11 и I22, причем I22 берется с "плюсом" (направление тока I2 и I22 совпадают), а I11 - с "минусом" (направления I2 и I11 противоположны)

Для всех ветвей

Вот и все, задача решена. Остается только сравнить результаты с ответами, полученными другим методом, и убедиться, что все сделано правильно.

Всегда ваша, Botva-Project