Теоретическая механика. Динамика точки.
Рассмотрим решение типовой задачи из домашнего задания по теоретической механике для 3-го семестра.
Условие
Рабочая поверхность толкателя представляет собой цилиндрическую поверхность радиусом r с углом охвата α=45˚. Толкатель начинает двигаться по горизонтальной плоскости с постоянным ускорением а и приводит в движение тело, находящееся на плоскости в покое. Пренебрегая трением тела о поверхность толкателя, определить, при каком минимальном значении ускорения толкателя тело достигнет верхней кромки.
Решение
Если точка движется по окружности, имеет смысл задать ее положение угловой координатой. Определим положение точки М угловой координатой φ.
Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с движущимся толкателем. В соответствии с принципом Даламбера в системе отсчета, связанной с толкателем, на точку действует сила инерции:
Нанесем на рисунок все силы, действующие на точку. Это сила инерции (направлена в сторону, противоположную ускорению толкателя), сила нормальной реакции опоры (направлена нормально к опоре, т.е. в центр окружности), сила тяжести (направлена, разумеется, вниз).
Векторное уравнение динамики точки выглядит так:
При данном выборе координат можно выделить две оси: ось t – касательную к траектории точки и ось n – нормальную к траектории точки. Наше векторное уравнение мы будем проецировать на эти оси.
В проекции на ось t:
Упрощаем выражение, используя тригонометрические тождества:
Запишем выражение для at, избавляясь от переменной t и выражая ускорение через угол φ
Переписываем выражение и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Сокращаем массу:
Интегрируем обе части уравнения. При выборе пределов интегрирования принимаем, что начальная скорость точки равна 0 (точка покоилась на плоскости), конечная скорость равна 0 (точка поднялась до верхней кромки толкателя и остановилась там). Угол φ меняется от 0 до α.
Получаем:
Интегрируем:
Полезно проверить размерность, хотя здесь она очевидна:
Подставим данные:
Как видим из ответа, ускорение толкателя не зависит от массы точки и от радиуса толкателя.
Подытожим. Вот общий алгоритм решения задач на динамику точки.
1) Выбираем систему отсчета и задаем систему координат, однозначно описывающих положение точки
2) Применяя принцип Даламбера, вводим силы инерции, если система отсчета не является инерциальной
3) Наносим на рисунок все силы, действующие на точку, в некоем произвольном положении
4) Записываем векторное уравнение равновесия точки (оно же уравнение динамики)
5) Проецируем уравнение на оси таким образом, чтобы ненужные члены уравнения исчезли (как сила реакции N в нашем случае)
6) Упрощаем то, что упрощается, получаем дифференциальное уравнение
7) Решаем это уравнение, получаем ответ
8) Проверяем размерность ответа и его логичность.
Если у Вас есть вопросы по решению данной задачи (или другой), пишите на наш e-mail botva-project@yandex.ru, мы всегда готовы помочь.
С уважением, Botva-Project
Контакты и реквизиты
|
Ботва Вконтакте: |
|
|
Кошелек Yandex-деньги: |
41001685155788 |
|
|
Группа Вконтакте: |
|
|
QIWI-кошелек: |
9099441606 |
|
Электронная почта: |
botva-project@yandex.ru |
|
|
Кошелек Webmoney: |
R517790048459 |