Теоретическая механика. Малые колебания с одной степенью свободы.

В качестве примера разберем решение типового варианта домашнего задания по данной теме. Возьмем вариант 32, чтобы никому не было обидно, ну а кое-кому, возможно, сказочно повезло.

Итак, вот условие задания.

К нему прилагается таблица с цифрами, мы будем решать в общем виде. Обычно в подобных заданиях всегда заданы все массы, упругость пружины, размеры звеньев, коэффициент сопротивления демпфера и граничные условия для решения дифференциального уравнения колебаний.

Все подобные задачи решаются по одному и тому же алгоритму. Первым делом задаемся обобщенной координатой. За нас это уже сделали составители задания, обобщенная координата указана на рисунке как q(t) - это угловой поворот шестерни 1.

Следующий шаг - записать через q скорости ключевых точек механизма. К ним относятся - скорости центров тяжести всех тел, обладающих массой, угловые скорости тел, совершающих вращательное движение, скорость точки закрепления пружины, скорость поршня демпфера. В нашем случае это угловая скорость шестерни 1 и линейные скорости ползунов 2.

Уравнения, связывающие скорости с обобщенной координатой, называются уравнениями связей. Для нашей системы они выглядят несложно.

Третий шаг - нужно записать кинетическую энергию для всей системы. Для этого нужно посчитать кинетическую энергию всех тел, обладающих массой. В нашем случае шестерня 1 движется вращательно, ползуны 2 - поступательно. Кинетическая энергия считается следующим образом: 

Из выражения для кинетической энергии мы определим обобщенный коэффициент инерции а. Поскольку

Теперь время записать выражения для потенциальной энергии системы. Центры тяжести тел в нашем механизме не перемещаются по вертикали, значит, силы тяжести вклад в потенциальную энергию не вносят. Была ли пружина деформирована до начала колебаний? Не была. Значит, при повороте шестерни 1 на угол q пружина растягивается на величину qr (это следует из уравнения связи для V2, перемещения связаны теми же соотношениями, что и скорости).

Записываем

Из выражения для потенциальной энергии мы определим обобщенный коэффициент жесткости с. Поскольку

Теперь работаем с диссипативной функцией Релея. Она записывается следующим образом

Здесь V2 - это скорость поршня в демпфере, в нашем случае она равна скорости ползуна 2.

Из выражения для Ф мы определим обобщенный коэффициент вязкого сопротивления b. Поскольку

Осталось разобраться с возбуждающей колебания силой. В нашем случае происходит динамическое возбуждение колебаний (когда к механизму приложена внешняя сила F(t), ну или момент М(t), как у нас). Нужно записать обобщенную силу, это проще всего сделать через элементарную работу внешней силы на малом приращении координаты. Выглядит так

Отсюда можно выразить амплитуду возбуждения. Поскольку

Собственно, мы вплотную подошли к записи дифференциального уравнения колебаний. Для этого нам нужны значения обобщенных коэффициентов:

- инерции а

- жесткости с

- сопротивления b

- возбуждения H

Четыре цифры. В подавляющем большинстве задач всегда не равны 0 коэффициенты a и с. Если в задаче нет демпфера, то b=0. Если нет возбуждения, то H=0.

В общем виде, дифференциальное уравнение колебаний записывается так

Его приводят к каноническому виду

где

Когда диффур записан, остается его только решить. Алгоритм решения мы рассматривали ранее.

Надеемся, что мы немного прояснили для вас алгоритм решения подобных задач. Подытожим.

1) Выбрать обобщенную координату

2) Записать уравнения связей

3) Записать кинетическую энергию (найти обобщенный коэффициент инерции а)

4) Записать потенциальную энергию (найти обобщенный коэффициент жесткости c)

5) Записать диссипативную функцию Релея (найти обобщенный коэффициент сопротивления b)

6) Записать обобщенную возбуждающую силу (найти амплитуду H)

7) Записать ДУ, привести его к каноническому виду, решить.

Разумеется, есть ряд фишек и тонкостей в каждом отдельно взятом механизме, но общий ход размышлений именно такой. Дерзайте, и у вас все получится. Если возникают вопросы, обращайтесь.

Всегда ваша, Botva-Project