Сложное напряженное состояние. "Кубики" и круги Мора
Ряд задач в курсе сопротивления материалов подразумевают прочностной расчет. В ходе решения такого рода задач в раме, стержне, оболочке или любой другой конструкции выделяют опасные сечения, в этих сечениях определяют опасные точки и считают в них эквивалентное напряжение. Путем сравнения эквивалентных напряжений в разных точках определяется максимальное напряжение, по которому и ведется прочностной расчет. Поговорим о способах расчета эквивалентного напряжения.
После того, как мы выделили опасную точку, всегда рисуется вот такой кубик, некая элементарная точка с тремя площадками.
В зависимости от вида нагружения на гранях этого кубика расставляются напряжения. Самый простой вариант - когда отсутствуют касательные напряжения. Это выглядит так
Здесь заданные напряжения являются главными (надо понимать, что одно или два из них вполне может оказаться нулевым, тогда задача еще упростится).
То есть с определением главных напряжений проблем не возникнет
Главные напряжения надо отранжировать по уменьшению, то есть расставить в порядке убывания
Ну и теперь легко посчитать эквивалентное напряжение по одной из гипотез прочности.
Гипотеза Треска-Сен-Венана (наибольших касательных напряжений) - используется по умолчанию, если в задании не указано, по какой гипотезе считать, и предел текучести сжатия равен пределу текучести растяжения (σтр=σтсж)
Гипотеза Хубера-Мизеса (энергетическая) - используется, если об этом сказано в задании
Теория Мора - используется по умолчанию, если предел текучести сжатия не равен пределу текучести растяжения (σтр≠σтсж)
Все усложняется, если на одной из площадок появляется касательное напряжение.
Например, вот так
Здесь главные напряжения с ходу не определить поэтому придется немного посчитать. Известно только одно главное напряжение
Для расчета остальных главных напряжений используем формулу
Дальше, как обычно, выстраиваем главные напряжения по убыванию и считаем эквивалентное напряжение по одной из гипотез.
Спойлер: подавляющее число задач по данной теме в рамках курса сопротивления материалов в МГТУ им. Баумана обычно такие.
Ну и наконец, wellcome to hell, если у вас два или три касательных напряжения. Рассмотрим сразу вариант, когда кубик загружен по максимуму.
Тут придется решать через инварианты напряженного состояния. По следующим формулам надо рассчитать инварианты:
Когда мы справились с этой жестью, надо решить кубическое уравнение
Решив его, мы найдем главные напряжения. Спойлер: часто задачи составлены таким образом, что, например, I3=0, тогда одна из главных напряжений равно 0, и уравнение вырождается в квадратное, что позволяет решить его без помощи компьютера. К сожалению, не всегда.
Надо добавить, что любой случай нагружения является частным случаем последнего кубика. Так что, подставляя в эти формулы нулевые значения вместо отсутствующих напряжений, вы получите верные значения главных напряжений.
Напоследок, немного добавим о кругах Мора. Зная главные напряжения, построить круги Мора проще простого. Рисуем координатную плоскость, горизонтальная ось - ось нормальных напряжений σ, вертикальная ось - ось касательных напряжений τ. На горизонтальной оси наносим посчитанные значения главных напряжений
Естественно, σ3 будет самой левой точкой, а σ1 - самой правой.
Ставим острие циркуля ровно посередине между σ3 и σ2 и рисуем окружность через точки σ3 и σ2.
Ставим острие циркуля ровно посередине между σ2 и σ1 и рисуем окружность через точки σ2 и σ1.
Ставим острие циркуля ровно посередине между σ3 и σ1 и рисуем окружность через точки σ3 и σ1.
Круги Мора готовы.В зависимости от значений главных напряжений они могут вырождаться в одну окружность (если два из трех главных напряжений равны) или даже в точку (если все три равны, да, бывает и такое).
Надеемся, материал был полезен.
Всегда ваша, Botva-Project
Контакты и реквизиты
|
Ботва Вконтакте: |
|
|
Кошелек Yandex-деньги: |
41001685155788 |
|
|
Группа Вконтакте: |
|
|
QIWI-кошелек: |
9099441606 |
|
Электронная почта: |
botva-project@yandex.ru |
|
|
Кошелек Webmoney: |
R517790048459 |