186783
Ваш браузер устарел. Рекомендуем обновить его до последней версии.

Сложное напряженное состояние. "Кубики" и круги Мора

Ряд задач в курсе сопротивления материалов подразумевают прочностной расчет. В ходе решения такого рода задач в раме, стержне, оболочке или любой другой конструкции выделяют опасные сечения, в этих сечениях определяют опасные точки и считают в них эквивалентное напряжение. Путем сравнения эквивалентных напряжений в разных точках определяется максимальное напряжение, по которому и ведется прочностной расчет. Поговорим о способах расчета эквивалентного напряжения.

После того, как мы выделили опасную точку, всегда рисуется вот такой кубик, некая элементарная точка с тремя площадками.

В зависимости от вида нагружения на гранях этого кубика расставляются напряжения. Самый простой вариант - когда отсутствуют касательные напряжения. Это выглядит так

Здесь заданные напряжения являются главными (надо понимать, что одно или два из них вполне может оказаться нулевым, тогда задача еще упростится).

То есть с определением главных напряжений проблем не возникнет

Главные напряжения надо отранжировать по уменьшению, то есть расставить в порядке убывания

Ну и теперь легко посчитать эквивалентное напряжение по одной из гипотез прочности.

Гипотеза Треска-Сен-Венана (наибольших касательных напряжений) - используется по умолчанию, если в задании не указано, по какой гипотезе считать, и предел текучести сжатия равен пределу текучести растяжения (σтр=σтсж)

Гипотеза Хубера-Мизеса (энергетическая) - используется, если об этом сказано в задании

Теория Мора - используется по умолчанию, если предел текучести сжатия не равен пределу текучести растяжения (σтр≠σтсж)

Все усложняется, если на одной из площадок появляется касательное напряжение.

Например, вот так

Здесь главные напряжения с ходу не определить поэтому придется немного посчитать. Известно только одно главное напряжение

Для расчета остальных главных напряжений используем формулу

Дальше, как обычно, выстраиваем главные напряжения по убыванию и считаем эквивалентное напряжение по одной из гипотез.

Спойлер: подавляющее число задач по данной теме в рамках курса сопротивления материалов в МГТУ им. Баумана обычно такие.

Ну и наконец, wellcome to hell, если у вас два или три касательных напряжения. Рассмотрим сразу вариант, когда кубик загружен по максимуму.

Тут придется решать через инварианты напряженного состояния. По следующим формулам надо рассчитать инварианты:

Когда мы справились с этой жестью, надо решить кубическое уравнение

Решив его, мы найдем главные напряжения. Спойлер: часто задачи составлены таким образом, что, например, I3=0, тогда одна из главных напряжений равно 0, и уравнение вырождается в квадратное, что позволяет решить его без помощи компьютера. К сожалению, не всегда.

Надо добавить, что любой случай нагружения является частным случаем последнего кубика. Так что, подставляя в эти формулы нулевые значения вместо отсутствующих напряжений, вы получите верные значения главных напряжений.

Напоследок, немного добавим о кругах Мора. Зная главные напряжения, построить круги Мора проще простого. Рисуем координатную плоскость, горизонтальная ось - ось нормальных напряжений σ, вертикальная ось - ось касательных напряжений τ. На горизонтальной оси наносим посчитанные значения главных напряжений

Естественно, σ3 будет самой левой точкой, а σ1 - самой правой.

Ставим острие циркуля ровно посередине между σ3 и σ2 и рисуем окружность через точки σ3 и σ2.

Ставим острие циркуля ровно посередине между σ2 и σ1 и рисуем окружность через точки σ2 и σ1.

Ставим острие циркуля ровно посередине между σ3 и σ1 и рисуем окружность через точки σ3 и σ1.

Круги Мора готовы.В зависимости от значений главных напряжений они могут вырождаться в одну окружность (если два из трех главных напряжений равны) или даже в точку (если все три равны, да, бывает и такое).

Надеемся, материал был полезен.

Всегда ваша, Botva-Project

  

  

Контакты и реквизиты

Ботва Вконтакте:

vk.com/botvaproject

 

Кошелек Yandex-деньги:

41001685155788

Группа Вконтакте:

vk.com/botvapro

 

QIWI-кошелек:

9099441606

Электронная почта: 

botva-project@yandex.ru

 

Кошелек Webmoney:

R517790048459